Du kannst z.B. das Backup aus dem Admin-Bereich beim neuen Hoster mit der entsprechenden Funktion im Admin-Bereich wieder hochladen. Sollte sich die Domain ändern, musst du ggf. die Daten in der phpbb_config manuell anpassen - aber ansonsten geht's
Gruß, Philipp
BTW: ich würde aber sicherheitshalber prüfen, ob die Daten vollständig heruntergelanden wurden. Soll da auch schon zu Problemen gekommen sein...