Ich habe noch nicht alle Forumsfunktionen testen können, aber es sieht so aus, als hätte ich es auch geschafft. Folgende Erkenntnisse habe ich noch gewonnen:
1. Das Problem mit den Umlauten ist nicht wieder aufgetreten, nachdem ich schon beim Backup der alten Datenbank (mit MYSQLDumper) manuell die Kodierung auf latin 1 gestellt habe (utf8 stand nicht zur Verfügung, es war noch eine SQL-Version 4.0x).
2. Nach dem Einspielen der alten Datenbank in eine neue SQL-Datenbank 5.1.67 hatte ich wieder die schon beschriebenen Fehler (PMs nicht möglich, neuer Faden nicht möglich, Antworten im alten Faden nicht möglich, jeweils mit Meldung "... does not have default value"). Ich habe dann die vom mysqlupgrader vorgeschlagenen Befehle einzeln ausgeführt und konnte dabei beobachten, wie nach dem Ändern der zugehörigen Datenbanktabelle auch wieder Nachrichten und neue Postings möglich wurden. Beim Anpassen der Tabelle *_posts musste ich wieder die Zeile
drop index post_username streichen, wie es Mahony empfohlen hatte.
3. Die von mysqlupgrader vorgeschlagene Befehlszeile
ALTER TABLE *_posts ADD FULLTEXT (post_subject), ADD FULLTEXT (post_text), ADD FULLTEXT post_content (post_subject, post_text);
wurde mit der Fehlermeldung
Column 'post_text' cannot be part of FULLTEXT index
quittiert. Ich habe den Befehl ignoriert und bislang keine nachteiligen Folgen entdecken können. Sollte ich da noch irgendwas unternehmen?
Zwei Dinge irritieren mich im Moment etwas:
a) Wenn ich den mysqlupgrader nochmals über mein Forum laufen lasse, macht er die gleichen Vorrschläge, obwohl ich diese schon umgesetzt habe?!
b) Wenn ich jetzt im Adminbereich des Forums nach den php-Informationen schaue, wird mir immer noch Version 5.2.17 angezeigt, obwohl ich das bei 1&1 auf 5.4. umgestellt habe. Noch merkwürdiger finde ich, dass MySQLDumper mir für das Forum die PHP-Version 5.4.12 anzeigt. Warum unterscheiden sich diese Angaben? Ich bin sicher, dass Forum und MySQLDumper zusammengehören, denn eine Änderung im Forum kann ich im Dumper nachvollziehen.
Allen, die mir geholfen und/oder Mut zugesprochen haben, möchte ich nochmals herzlich danken. Es war schon eine aufwändige Geschichte, aber wenn ich das im Internet richtig verfolgt habe, hatte ich wohl auch Pech, dass ich mein erstes Forum ausgerechnet mit einer Datenbank 4.0x aufgesetzt habe (aufsetzen musste, weil es nicht anderes gab).
P.S.: Wie ich gerade merke, habe ich mich zu früh gefreut. In den Postings, nicht aber in den Forumstiteln und Beschreibungen werden die Sonderzeichen doch falsch dargestellt. Also geht die Suche weiter

P.P.S.: Das noch bestehende Umlautproblem lies sich mit Miriams Hinweis auf
viewtopic.php?t=56896 beheben.